Question

判斷函數(shù)f（x）=

x+1

x-1

在（-∞，0）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將f（x）變成：f（x）=1+

2

x-1

，通過(guò)解析式即可判斷出函數(shù)f（x）是減函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可．

解答： 解：f（x）=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

；
通過(guò)解析式可以看出，當(dāng)x增大時(shí)，f（x）減小，所以f（x）為減函數(shù)，下面用定義證明：
證明：設(shè)x₁＜x₂＜0，則：
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
∵x₁＜x₂＜0，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，及根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．