Question

已知一個高度不限的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=4，BC=5，CA=6，點P是側(cè)棱AA₁上一點，過A作平面截三棱柱得截面ADE，給出下列結(jié)論：
①△ADE是直角三角形；
②△ADE是等邊三角形；
③四面體APDE為在一個頂點處的三條棱兩兩垂直的四面體．
其中有可能成立的結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離

分析：本題考察在空間點線面的位置關系，在直三棱柱中，數(shù)形結(jié)合，作圖求解，①和②找出一個例子即可證明其存在性，③需分類討論，利用直三棱柱的性質(zhì)以及底面三邊長AB=4，BC=5，CA=6條件判斷．

解答： 解；如圖，做直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=4，BC=5，CA=6，
（1）不妨取AD=6，AE=10，DE=8，則△ADE是直角三角形，①可能成立；
（2）不妨令AD=AE=DE=a（a＞6），則△ADE是等邊三角形，②可能成立；
（3）假設四面體APDE為在一個頂點處的三條棱兩兩垂直的四面體，
當A為直角頂點時，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，PA⊥底面ABC，則 E，D分別與C，B重合，此時，∠EAD不是直角，與假設矛盾，假設不成立，
當P為直角頂點時，可得PD∥AB，PE∥AC，由等角定理知則∠EPD不可能是直角，與假設矛盾，假設不成立，
當E或D點為直角頂點時，不妨選E為直角頂點，則DE⊥EP，DE⊥EA，EP∩EA═A，EP?平面ACC₁A₁，EA?平面ACC₁A₁，
則平面ACC₁A₁與平面BCC₁B₁垂直，則直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可證∠ACB為二面角的平面角，∠ACB═90°，與題意矛盾，假設不成立．
綜上③錯誤．
故選：C．

點評：本題重在考察空間想象力以及邏輯推理能力，推理依據(jù)為條件的化簡．在底面三角形ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，則∠B最大，由余弦定理可得其為銳角，則三角形ABC為銳角三角形，這是解題的中關鍵之一；其二是利用直棱柱的背景推理．