Question

已知函數(shù)f（x）=a^x（0＜a＜1），數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n），n∈N^*．則a₂與a₃中，較大的是

 

；a₂₀，a₂₅，a₃₀的大小關系是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調性，可以得出a_n+1=f（a_n）從第一項開始，函數(shù)值先增大后減小再增大，再減小，最后趨于平穩(wěn)值，奇數(shù)項的值慢慢變大趨于平穩(wěn)值，偶數(shù)項的值慢慢變小趨于平穩(wěn)值，所以偶數(shù)項總是大于奇數(shù)項的值，即可得出結論．

解答： 解：∵f（x）=a^x（0＜a＜1），a₁=f（1），
∴a₁=a，
∵a_n+1=f（a_n），
∴a₂=f（a₁）=aa1=a^a，
∵0＜a＜1，
∴a₂＞a₁，
∵a₃=aa2，
∴a₂＞a₃，
同理可得a₁＜a₃＜…，a₂＞a₄＞…，
∴a_n+1=f（a_n）從第一項開始，函數(shù)值先增大后減小再增大，再減小，最后趨于平穩(wěn)值，奇數(shù)項的值慢慢變大趨于平穩(wěn)值，偶數(shù)項的值慢慢變小趨于平穩(wěn)值，所以偶數(shù)項總是大于奇數(shù)項的值，
∴a₂₅＜a₃₀＜a₂₀．
故答案為：a₂；a₂₅＜a₃₀＜a₂₀．

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調性，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．