Question

在邊長為a的正方形ABCD中內(nèi)依次作內(nèi)接正方形A_iB_iC_iD_i（i=1，2，3，…），使內(nèi)接正方形與相鄰前一個正方形的一邊夾角為a，求所有正方形的面積之和．

Answer 1

分析：令第k個正方形的邊長為a_k，則可表示出a_k+1和a_k的關(guān)系式，整理求得（

ak+1

ak

）²=（

1

sinα+cosα

）²，推斷出{a_k²}為等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的極限公式求得所有正方形面積之和．

解答：解：令第k個正方形的邊長為a_k，則a_k+1（sina+cosa）=a_k （0＜a＜

π

2

），

ak+1

ak

=

1

sinα+cosα

∴（

ak+1

ak

）²=（

1

sinα+cosα

）²，
即{a_k²}為等比數(shù)列，且公比小于1，
∴所有正方形面積之和
S=

a2

1-( 1 sinα+cosα )  2

=

2a2sin 2(α+ π 4 )

(sinα+cosα)2-1

=

2a2sin 2(α+ π 4 )

sin2α

點評：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列與極限的綜合．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．