Question

3．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，△ADE也是等邊三角形且邊長(zhǎng)為1，M為DE的中心，在△ABC所在平面內(nèi)，△ADE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AM}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$+$\sqrt{3}$
• C． $\frac{3+\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），則∠CAE=θ，把$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AM}$轉(zhuǎn)化為含有θ的三角函數(shù)，利用輔助角公式化積后得答案．

解答 解：設(shè)∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），則∠CAE=θ，
則$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AM}$=（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$）=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AD}}^{2}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AE}）$
=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$-\frac{1}{2}×2×1×cos（θ+\frac{π}{3}）$
=$\frac{3}{4}$-cosθ-cosθcos$\frac{π}{3}$+sinθsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$
=$\sqrt{3}sin（θ-\frac{π}{6}）+\frac{3}{4}$．
∴當(dāng)$θ=\frac{2π}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AM}$的最大值為$\sqrt{3}+\frac{3}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．