Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值集合；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）的最小值為4，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1））由于函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0恒成立，于是可得△≤0恒成立，解得即可；
（2）由（1）可得：f′（x）=6（x-1）（x-a）．對(duì)a分類討論：a≤1，1＜a＜3，a≥3三種情況利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6[x²-（a+1）x+a]≥0恒成立，
∴△=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0在R上恒成立，解得a=1．
因此實(shí)數(shù)a的取值集合為{1}；
（2）由（1）可得：f′（x）=6（x-1）（x-a）．
（i）當(dāng)a≤1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，且f′（x）不恒等于0，
∴f （x） 在區(qū)間[1，3]上是單調(diào)增函數(shù)，最小值為f （1）．
由于f （1）=4，即2-3（a+1）+6a=4．解得a=

5

3

＞1（舍去）．
（ii）當(dāng)1＜a＜3時(shí)，在區(qū)間（1，a）上f′（x）＜0，∴f （x）在區(qū)間（1，a）上是減函數(shù)；
在區(qū)間（a，3）上f′（x）＞0，∴f （x）在區(qū)間（a，3）上是增函數(shù)，故f （a）為最小值．
f （a）=4，即a³-3a²+4=0，解得 a=-1，a=2．
a=-1不滿足條件1＜a＜3，應(yīng)舍去．
故a=2．
（iii）當(dāng)a≥3時(shí)，在區(qū)間（1，a）上f′（x）＜0，∴f （x）在區(qū)間（1，a）上是減函數(shù)，f （3）為最小值．
f （3）=4，即54-27（a+1）+18a=4．解得a=

23

9

＜3（舍去）．
綜上所述：a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．