Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（A，$\sqrt{3}$Acosωx），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{A}$+cos²ωx，sinωx）（A≠0，ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$在區(qū)間[m，n]上單調(diào)，且|m-n|的最大值是$\frac{π}{2}$，函數(shù)f（x）的圖象在y軸上的截距為$\frac{3}{2}$，則f（x）的一個對稱中心為（　　）

• A． （-$\frac{π}{12}$，0）
• B． （-$\frac{π}{12}$，$\frac{5}{4}$）
• C． （-$\frac{5π}{12}$，0）
• D． （$\frac{5}{6}$π，$\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 利用數(shù)量積公式得出f（x）解析式，利用三角恒等變換化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出A，ω，得出對稱中心．

解答 解：f（x）=1+Acos²ωx+$\sqrt{3}$Acosωxsinωx=1+$\frac{A}{2}$（1+cos2ωx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$Asin2ωx=1+$\frac{A}{2}$+Asin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
∵單調(diào)區(qū)間[m，n]的最大長度為$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
∵函數(shù)f（x）的圖象在y軸上的截距為$\frac{3}{2}$，即f（0）=$\frac{3}{2}$，∴1+$\frac{A}{2}$+$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴A=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ得x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴當(dāng)k=0時，（-$\frac{π}{12}$，$\frac{5}{4}$）為f（x）的一個對稱中心，
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積，三角恒等變換與正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．