Question

設(shè)圓（x-3）²+（y+5）²=r²（r＞0）上有且僅有兩個點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1，則圓半徑r的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：先根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)和圓心到已知直線的距離，進(jìn)而可推斷出與直線4x-3y-2=0距離是1的兩個直線方程，分別求得圓心到這兩直線的距離，分析如果與4x-3y+3=0相交 那么圓也肯定與4x-3y-7=0相交 交點(diǎn)個數(shù)多于兩個，則到直線4x-3y-2=0的距離等于1的點(diǎn)不止2個，進(jìn)而推斷出圓與4x-3y+3=0不相交；同時如果圓與4x-3y-7=0的距離小于等于1 那么圓與4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交點(diǎn)個數(shù)和至多為1個 也不符合題意，最后綜合可知圓只能與4x-3y-7=0相交，與4x-3y+3=0相離，進(jìn)而求得半徑r的范圍．

解答：解：依題意可知圓心坐標(biāo)為（3，-5），到直線的距離是5
與直線4x-3y-2=0距離是1的直線有兩個4x-3y-7=0和4x-3y+3=0
圓心到4x-3y-7=0距離為

|12+15-7|

16+9

=4 到4x-3y+3=0距離是

|12+15+3|

16+9

=6
如果圓與4x-3y+3=0相交 那么圓也肯定與4x-3y-7=0相交，
交點(diǎn)個數(shù)多于兩個，于是圓上點(diǎn)到4x-3y-2=0的距離等于1的點(diǎn)不止兩個
所以圓與4x-3y+3=0不相交
如果圓與4x-3y-7=0的距離小于等于1，那么圓與4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交點(diǎn)個數(shù)和至多為1個
所以圓只能與4x-3y-7=0相交，與4x-3y+3=0相離
所以 4＜r＜6
故答案為：（4，6）

點(diǎn)評：本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系和判定．考查了學(xué)生分析問題和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．要求學(xué)生有嚴(yán)密的邏輯思維能力．