Question

20、己知3sinβ=sin（2α+β），求證：tan（α+β）=2tanα．

Answer 1

分析：把已知等式左邊的角β變?yōu)椋é?β）-α，右邊的角2α+β變?yōu)椋é?β）+α，然后左右兩邊分別利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，移項合并后，在等式兩邊同時除以cosαcos（α+β），利用同角三角函數間的基本關系變形可得證．

解答：證明：將條件化為：3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
展開得：3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，即：2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，
由cos（α+β）cosα≠0，兩邊同除以cos（α+β）cosα，
可得：tan（α+β）=2tanα．（12分）

點評：此題考查了三角函數的恒等式的證明，用到的知識有：兩角和與差的正弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，把已知等式左右兩邊的角度靈活變換是本題的突破點．