Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²-4x+c．若f（x）＜0的解集是（-1，5）
（1）求實數(shù)a，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[0，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）＜0的解集是（-1，5），可知二次不等式對應(yīng)的方程的根，利用根與系數(shù)關(guān)系列式求a和c的值；
（2）求出函數(shù)f（x）的解析式后，借助于其圖象分析函數(shù)在[0，3]上的單調(diào)性，運用單調(diào)性求函數(shù)f（x）在x∈[0，3]上的值域．

解答：解：（1）由f（x）＜0，得：ax²-4x+c＜0，
不等式ax²-4x+c＜0的解集是（-1，5），
故方程ax²-4x+c=0的兩根是x₁=-1，x₂=5．
所以

4

a

=x1+x2=4，

c

a

=x1x2=-5
所以a=1，c=-5．
（2）由（1）知，f（x）=x²-4x-5=（x-2）²-9．
∵x∈[0，3]，f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，在[2，3]上為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=2時，f（x）取得最小值為f（2）=-9．
而當(dāng)x=0時，f（0）=（0-2）²-9=-5，當(dāng)x=3時，f（3）=（3-2）²-9=-8
∴f（x）在[0，3]上取得最大值為f（0）=-5．
∴函數(shù)f（x）在x∈[0，3]上的值域為[-9，-5]．

點評：本題考查了一元二次不等式的解集與二次不等式對應(yīng)的方程的根的關(guān)系，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．