Question

求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，短軸長為12，離心率為

4

5

的橢圓；
（2）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的交點(diǎn)為(

3

2

，

6

)，求拋物線與雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得到橢圓離心率為e=

c

a

=

4

5

，結(jié)合b=6和a²=b²+c²解出a=10，從而得到該橢圓的方程；
（2）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），將點(diǎn)(

3

2

，

6

)代入算出p=2，從而得到拋物線方程為y²=4x，所以拋物線的準(zhǔn)線為x=-1，結(jié)合題意得到雙曲線的半焦距c=1，再由點(diǎn)(

3

2

，

6

)在雙曲線上解出a²=

1

4

，b²=

3

4

，可得雙曲線的方程．

解答：解：（1）∵橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為12，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
∵離心率為e=

4

5

，b=6，
∴

a2-62

a

=

4

5

，解之得a=10，
從而得到橢圓方程為

x2

100

+

y2

36

=1；
（2）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
∵拋物線與雙曲線的交點(diǎn)為(

3

2

，

6

)，
∴6=2p×

3

2

，可得p=2，
可得拋物線方程為y²=4x，準(zhǔn)線方程為x=-1
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，∴c=1
又∵(

3

2

，

6

)是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的點(diǎn)
∴

9 4

a2

-

6

b2

=1，
聯(lián)解①②，可得a²=

1

4

，b²=

3

4

，得到雙曲線的方程為

x2

1 4

-

y2

3 4

=1
∴拋物線的方程為y²=4x，雙曲線的方程為

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．

點(diǎn)評：本題給出橢圓和雙曲線滿足的兩個(gè)關(guān)系式，求它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．