Question

己知f（x）在（-1，1）上有定義，f（）=-1，且滿足x．，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=．
（I）判斷為f（x）在（-1，1）上的奇偶性：
（II）對(duì)數(shù)列x₁=，x_n+1=，求f（x_n）
（111）求證：++…+＞-．

Answer 1

（I）解：令x=y=0，則2f（0）=f（0），所以f（0）=0
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0
所以f（-x）=-f（x）
所以f（x）為奇函數(shù)；
（II）解：∵x₁=，∴f（x₁）=f（）=-1，
∵x_n+1=，∴f（x_n+1）=f（）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴=2
∴{f（x_n）}是以-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴f（x_n）=-2^n-1；
（III）證明：∵++…+=-（1++…+）=-（2-）＞-2
而=-（2+）＜-2
∴++…+＞-．
分析：（I）利用賦值法，先求得f（0）=0，再令y=-x，即可得到f（x）為奇函數(shù)；
（II）先確定f（x₁）=f（）=-1，利用x_n+1=，根據(jù)f（x）+f（y）=，可得{f（x_n）}是以-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可求f（x_n）；
（III）證明++…+＞-2，=＜-2，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查賦值法的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明，確定數(shù)列為等比數(shù)列是關(guān)鍵．