Question

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，-2cosx），-．
（Ⅰ）若∥，求x；
（Ⅱ）設f（x）=•，求f（x）的單調減區(qū)間；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）經過平移后所得的圖象對應的函數(shù)是否能成為奇函數(shù)？如果是，說出平移方案；如果否，說明理由．

Answer 1

解：（I）若 ，則 sinx（sinx-2cosx）=cos²x，…（1分）
即-sin2x=cos2x，∴tan2x=-1．-----（2分）
又∵-＜x＜，∴-＜2 x＜π，
∴2x=-，或 2x=，即 x=- 或 x=．--------（4分）
（II）∴f（x）==2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x=sin（2x-）-1，…（7分）
令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+．
又 ，
∴f（x）的單調減區(qū)間時（-，-）、（ ，）．…（11分）
（Ⅲ）能，將函數(shù)f（x）的圖象向上平移1個單位，再向左平移（ k∈N） 個單位，或向右平移 （ k∈N） 個單位，
即得函數(shù) g（x）=sin2x的圖象，而 g（x）為奇函數(shù)．…（13分）
分析：（I）利用兩個向量共線的性質求得 tan2x=-1，再由-＜x＜ 求得x的值．
（II）利用兩個向量的數(shù)量積公式 化簡 f（x）的解析式為 sin（2x-）-1，令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅲ）將函數(shù)f（x）的圖象向上平移1個單位，再向左平移（ k∈N） 個單位，或向右平移 （ k∈N） 個單位即可．
點評：本題主要考查兩個向量共線的性質、兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．