Question

已知等差數列前三項為a，4，3a，前n項的和為s_n，s_k=2550．
（1）求a及k的值；
（2）求

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

．

Answer 1

分析：（1）由a，4，3a為等差數列前三項，利用等差中項的概念求出a的值，則等差數列的公差可求，寫出前k項和公式后代入s_k=2550可求得k的值；
（2）求出等差數列的前n項和，直接利用裂項相消求

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

．

解答：解：（1）設該等差數列為{a_n}，則a₁=a，a₂=4，a₃=3a，
由已知有a+3a=2×4，解得 a₁=a=2，公差d=a₂-a₁=4-2=2，
將s_k=2550代入公式sk=ka1+

k(k-1)

2

•d，
得，2k+

k(k-1)

2

×2=2550，解得：k=50，k=-51（舍去），
∴a=2，k=50；
（2）由 sn=n•a1+

n(n-1)

2

•d，得 s_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n（n+1），
∴

1

sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
則

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查了等差中項的概念，考查了等差數列的前n項和，考查了裂項相消法求數列的和，訓練了學生的計算能力，是中檔題題．