Question

橢圓的右焦點(diǎn)F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線l與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為A，B是線段FA的中點(diǎn)，若以橢圓上的一點(diǎn)M為圓心，線段OF（O為坐標(biāo)系原點(diǎn)）為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)F，B兩點(diǎn)，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意F（c，0），A（

a2

c

，0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得B（

c2+a2

2c

，0）又以M為圓心，線段OF=c為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)F，B兩點(diǎn)，得到M點(diǎn)在x軸上的射影是F，B的中點(diǎn)，再求得到右準(zhǔn)線的距離由橢圓的第二定義可解得離心率．

解答：解：根據(jù)題意：F（c，0），A（

a2

c

，0）
∴B（

c2+a2

2c

，0）
∵以M為圓心，線段OF=c為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)F，B兩點(diǎn)，
∴M點(diǎn)在x軸上的身影是F，B的中點(diǎn)
∴其橫坐標(biāo)是：

3c2+a2

2c

∴M點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為：c，到右準(zhǔn)線的距離為：|

a2-3c2

2c

|
又M為橢圓上的點(diǎn)
∴e=

c

| a2-3c2 2c |

=

-2+ 13

3

，
故答案為：

-2+ 13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，滲透圓后考查等腰三角形，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到相關(guān)量，來(lái)應(yīng)用橢圓的第二定義求解離心率．