Question

設(shè)k∈R，k≠0，函數(shù)f（x）=

ln(x-1) ，(x≥2) 2-x ，(x＜2)

，F(xiàn)（x）=f（x）-kx．
（I）試討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（II）設(shè)0＜k＜e-

3

2

，求證：F（x）=0有三個不同的實根．

Answer 1

分析：（I）已知中函數(shù)f（x）的解析式，可求出F（x）=f（x）-kx的解析式，進(jìn)而求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，分別討論當(dāng)x≥2，方程

1

x-1

-k=0的解，也當(dāng)x＜2時，方程-

1

2 2-x

-k=0的解，進(jìn)而可對k進(jìn)行分類討論得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（II）由（I）中結(jié)論，可得當(dāng)0＜k＜e-

3

2

時，函數(shù)的單調(diào)性，及對應(yīng)的極值點，分別判斷極大值與極小值的符號，進(jìn)而可判斷出F（x）=0有三個不同的實根．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

ln(x-1)，(x≥2) 2-x ，(x＜2)

，F(xiàn)（x）=f（x）-kx．
∴F（x）=

ln(x-1)-kx，(x≥2) 2-x -kx，(x＜2)

∴F′（x）=

1 x-1 -k，(x≥2) - 1 2 2-x -k，(x＜2)

       …（2分）
∴當(dāng)x≥2，方程

1

x-1

-k=0在k＜0或k≥1時，無解，在0＜k＜1時為x=

1

k

+1，
當(dāng)x＜2時，方程-

1

2 2-x

-k=0在k≥0時，無解，在k＜0時為x=2-

1

4k2

．
∴當(dāng)0＜k＜1時，函數(shù)F（x）在（-∞，2）上遞減，在（2，

1

k

+1）上遞增，在（

1

k

+1，+∞）上遞減；
當(dāng)k≥1時，函數(shù)F（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)k＜0時，函數(shù)F（x）在（-∞，2-

1

4k2

）上遞增，在（2-

1

4k2

，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（7分）
證明（Ⅱ）∵0＜k＜e-

3

2

，由（Ⅰ）可知，F(xiàn)（x）的取值隨著x的變化如下：

∴當(dāng)x=2時，F(xiàn)（x）極小值為-2k，
當(dāng)x=

1

k

+1，F(xiàn)（x）極大值為ln

1

k

-k-1，…（10分）
∵0＜k＜e-

3

2

，
∴l(xiāng)n

1

k

-k-1＞

3

2

-e-

3

2

-1=

1

2

-e-

3

2

＞0，
∴F（x）極小值-2k＜0，F(xiàn)（x）極大值為ln

1

k

-k-1＞0，
因此，0＜k＜e-

3

2

時，方程F（x）=0一定有三個不同的實根．…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，分段函數(shù)的解析式求法，根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中利用導(dǎo)數(shù)法，判斷出函數(shù)F（x）的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．