Question

一條斜率為1的直線l與離心率為

3

的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于P、Q兩點(diǎn)，直線l與y軸交于R點(diǎn)，且

OP

•

OQ

=-3，

PR

=3

RQ

，求直線與雙曲線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由離心率化簡雙曲線方程，設(shè)出直線l方程，代入雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入2個(gè)關(guān)于向量的等式求待定系數(shù)．

解答： 解：∵e=

3

，∴b=2a²，
∴雙曲線方程可化為2x²-y²=2a²，（2分）
設(shè)直線方程為y=x+m，
由

y=x+m 2x2-y2=2a2

得x²-2mx-m²-2a²=0．（4分）
∵△=4m²+4（m²+2a²）＞0，
∴直線一定與雙曲線相交，（6分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2m，x₁x₂=-m²-2a²，
∵

PR

=3

RQ

，
∴x_R=

x1+3x2

4

，x₁=-3x₂，
∴x₂=-m，-3x₂²=-m²-2a²，
消去x₂得，m²=a²，（8分）

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）
=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=m²-4a²=-3，（10分）
∴m=±1，a²=1，b²=2，直線方程為y=x±1，
雙曲線方程為x²-

y2

2

=1．   （12分）

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)、向量運(yùn)算、直線與雙曲線的位置關(guān)系．