Question

△ABC內(nèi)接于⊙O：x²+y²=1（O為坐標原點），且3

OA

+4

OB

+5

OC

=0．
（1）求△AOC的面積；
（2）若

OA

=(1，0)，

OC

=(cos(θ-

π

4

)，sin(θ-

π

4

))，θ∈(-

3π

4

，0)，求sinθ．

Answer 1

分析：（1）利用向量加法的平行四邊形法則及三角形的面積公式求出△AOC的面積
（2）分別利用向量的數(shù)量積的坐標形式及模夾角形式的公式列出方程求出cos(θ-

π

4

)，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求出sin(θ-

π

4

)
將角θ用角θ-

π

4

與角

π

4

表示，利用和角公式求出sinθ．

解答：解：（1）∵3

OA

+4

OB

+5

OC

=0
∴3

OA

+4

OB

=-5

OC

據(jù)向量加法的平行四邊形法則得sin∠AOC=

4

5

，cos∠AOC=-

3

5

∴△AOC的面積=

1

2

OA•OC•sin∠AOC=

2

5

（2）∵

OA

• 

OC

=（1，0）•(cos(θ-

π

4

)，sin(θ-

π

4

))=cos(θ-

π

4

)
∵

OA

•

OC

=

|OA

||

OC

|cos∠AOC═-

3

5

∴cos(θ-

π

4

)=-

3

5

∵θ∈(-

3π

4

，0)
∴θ-

π

4

∈(-π，-

π

4

)
∴sin(θ-

π

4

)=-

4

5

∴sinθ=sin[（θ-

π

4

）+

π

4

]=sin（θ-

π

4

）cos

π

4

+cos(θ-

π

4

)sin

π

4

=-

7 2

10

點評：本題是向量三角結(jié)合的題目，考查向量的數(shù)量積公式；三角函數(shù)的誘導公式；三角函數(shù)的和角公式；及湊角能力．