Question

已知函數(shù)的圖象與x軸相切于點S（s，0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與過坐標原點O的直線l相切于點T（t，f（t）），且f（t）≠0，證明：1＜t＜e；（注：e是自然對數(shù)的底）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用函數(shù)的圖象與x軸相切于點S（s，0），建立方程，可求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）由切線過點T（t，f（t））得到關于實數(shù)t的方程，將問題轉化為函數(shù)的零點區(qū)間判定問題，排除零點在區(qū)間內是該題的一個難點（在（Ⅰ）的啟發(fā)下，想到是區(qū)間內的唯一零點，但因而排除）．
解答：（Ⅰ）解：由，得．…（1分）
∵函數(shù)的圖象與x軸相切于點S（s，0），
∴，…①且f（s）=…．②…（2分）
聯(lián)立①②得c=e，．…（3分）
∴．…（4分）
（Ⅱ）證明：求導函數(shù)得．
∵函數(shù)的圖象與直線l相切于點T（t，f（t）），直線l過坐標原點O，
∴直線l的方程為：，
又∵T在直線l上，∴實數(shù)t必為方程…．③的解．…（5分）
令，則，
解g′（t）＞0得，g′（t）＜0得．
∴函數(shù)y=g（t）在遞減，在遞增．…（7分）
∵，且函數(shù)y=g（t）在遞減，
∴是方程在區(qū)間內的唯一一個解，
又∵，∴不合題意，即．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0，，函數(shù)y=g（t）在遞增，
∴必有1＜t＜e．…（10分）
點評：本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點、解不等式、直線方程和三角函數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想．