如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形A1ACC1繞直線CC1旋轉(zhuǎn)90°得到正方形B1BCC1,D為CC1的中點(diǎn),E為A1B的中點(diǎn),G為△ADB的重心.
(1)求直線EG與直線BD所成的角;
(2)求直線A1B與平面ADB所成的角的正弦值.
由題設(shè)CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC
所以,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系
則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2),B1(0,2,2),
所以D(0,0,1),E(1,1,1),G(
2
3
,
2
3
1
3
)
.(2分)
(1)
EG
=(-
1
3
,-
1
3
,-
2
3
)
,
BD
=(0,-2,1)
(4分)
所以
EG
BD
=
2
3
-
2
3
=0
,
EG
BD

所以,直線EG與直線BD所成的角為
π
2
.(5分)
(2)
A1B
=(-2,2,-2)
(6分)
AB
=(-2,2,0)
,
AD
=(-2,0,1)

設(shè)
n
=(x0,y0,z0)
為平面ABD的一個(gè)法向量
n
AB
=-2x0+2y0=0
n
AD
=-2x0+y0=0

y0=x0
z0=2x0

n
=(1,1,2)
.(8分)
設(shè)A1B與平面ADB所成的角為θ
sinθ=|cos?
A1B,
n
>|=
4
2
3
6
=
2
3

即:A1B與平面ADB所成的角為正弦值為
2
3
.(10分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成一個(gè)120°的二面角,點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C1,這時(shí)異面直線AD與BC1所成的角的余弦值是( 。
A.
2
2
B.
1
2
C.
3
4
D.
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知斜三棱柱(側(cè)棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直,BC=2,AC=2
3
,AB=2
2
,AA1=A1C=
6

(Ⅰ)設(shè)AC的中點(diǎn)為D,證明A1D⊥底面ABC;
(Ⅱ)求異面直線A1C與AB成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M,N分別為AA1、BB1的中點(diǎn).
求:(1)CM與D1N所成角的余弦值.
(2)D1N與平面MBC所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1∠ACB=90°,CC1⊥平面ABC,則AC1與平面ABB1A1所成角的大小為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知二面角α-l-β等于90°,A、B是棱l上兩點(diǎn),AC、BD分別在半平面α、β內(nèi),AC⊥l,BD⊥l,已知AB=5,AC=3,BD=4,則CD與平面α所成角的正弦值為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2AA1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

在四棱錐P-ABCD中,ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,則PC與面PAB所成角的余弦值為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2
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(1)求點(diǎn)A到平面MBC的距離;
(2)求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案