Question

對于函數(shù)f（x）=x|x|+px+q，現(xiàn)給出四個命題：
①q=0時，f（x）為奇函數(shù)；　　
②y=f（x）的圖象關于（0，q）對稱；　　
③p=0，q＞0時，方程f（x）=0有且只有一個實數(shù)根；　　
④方程f（x）=0至多有兩個實數(shù)根．其中正確命題的序號為

1. A.
   ①②
2. B.
   ①②③
3. C.
   ②④
4. D.
   ②③

Answer 1

A
分析：①若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px為奇函數(shù)；②y=x|x|+px為奇函數(shù)，圖象關于（0，0）對稱，把y=x|x|+px圖象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q的圖象，易得f（x）的圖象關于點（0，q）對稱；③當p=0，q＞0時，x＞0時，方程f（x）=0的無解，x＜0時，（x）=0的解為x=±；④q=0，p=1時方程f（x）=0的解為x=0或x=1或x=-1，即方程f（x）=0有3個實數(shù)根．
解答：①若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=q=0，
反之若q=0，f（x）=x|x|+px為奇函數(shù)，
所以①正確．
②y=x|x|+px為奇函數(shù)，圖象關于（0，0）對稱，
把y=x|x|+px圖象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q
圖象，易得f（x）的圖象關于點（0，q）對稱．
所以②正確．
③當p=0，q＞0時，x＞0時，方程f（x）=0的無解，
x＜0時，（x）=0的解為x=±，故③不正確．
④q=0，p=1時方程f（x）=0的解為x=0或x=1或x=-1，
即方程f（x）=0有3個實數(shù)根，
故④不正確．
故選A．
點評：本題考查命題的真假判斷和應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．