分析:(1)利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d,由相切得到d等于圓的半徑r,根據(jù)圓的半徑等于1列出關(guān)于k的方程,求出k的值,然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可寫出直線與圓有兩個交點時k的取值范圍;
②把直線l的方程與圓的方程聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達定理及中點坐標公式,分別用坐標表示出
和
,然后利用
•=12列出關(guān)于k的方程,求出k的值即可.
解答:解:(1)當直線l與圓相切時,圓心(2,3)到直線l的距離d=
=r=1,
化簡得3k
2-8k+3=0,解得:k=
,
因為直線l與圓相交于M,N兩點,所以實數(shù)k的取值范圍為:
<k<
;
(2)把直線方程與圓方程聯(lián)立得
,消去y得到(1+k
2)x
2-4(1+k)x+7=0
設(shè)M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),則x
1和x
2為(1+k
2)x
2-4(1+k)x+7=0的兩個根,
則MN中點橫坐標x
1+x
2=
,x
1x
2=
•=x
1x
2+y
1y
2=x
1x
2+(kx
1+1)(kx
2+1)=
+
=12,
即12k
2+4k+8=12(1+k
2),解得k=1.
點評:本題主要考查了學生掌握直線與圓相切時滿足的條件,靈活運用點到直線的距離公式及韋達定理化簡求值,同時考查了計算能力,屬于中檔題.