Question

用坐標(biāo)法證明平面內(nèi)任意一點(diǎn)到矩形的一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)的距離平方和等于這個(gè)點(diǎn)到另一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)的距離平方和.?

 

Answer 1

證明:如上圖所示，取坐標(biāo)軸和矩形邊平行建立坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)為任意點(diǎn)，矩形四個(gè)頂點(diǎn)為A(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)、B(x₁，y₂)、D(x₂，y₁)，則有

|PA|²+|PC|²=(x₁-x)²+(y₁-y)²+(x₂-x)²+(y₂-y)²，

|PB|²+|PD|²=(x₁-x)²+(y₂-y)²+(x₂-x)²+(y₁-y)².

∴|PA|²+|PC|²=|PB|²+|PD|².?

溫馨提示:在上述證明中，若選取矩形的鄰邊AB、BC所在直線分別為y軸和x軸，那么矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，y₁)、B(0，0)、C(x₁，0)、D(x₁，y₁),這樣數(shù)據(jù)更簡(jiǎn)單，運(yùn)算更簡(jiǎn)便了.因此用坐標(biāo)法解題，坐標(biāo)系選取得適當(dāng)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.?