如圖所示，四面體ABCD是空間四邊形，AB=AD，CB=CD．求證：AC⊥BD．

答案：略
解析：

證法1：設(shè)BD中點(diǎn)的E，連結(jié)AE、CE∵AB=AD，∴AE⊥BD．

又BC=CD，∴CE⊥BD．

又AE∩CE=E，∴BD⊥面ACE．

又AC面ACE，∴BD⊥AC．

證法2：過A在面ABD中作AE⊥BD，垂足為E．

連結(jié)CE．由AB=AD得E為BD中點(diǎn)，

從而在△BCD中有CE⊥BD，

又AE∩CE=E，∴BD⊥面ACE．

而AC面ACE，∴AC⊥BD．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1．
（Ⅰ）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的大�。�
（Ⅲ）若直線BD與平面ACD所成的角為30°，求線段AB的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•襄陽模擬）在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-D的大��；
（3）若直線BD與平面ACD所成的角為θ，求θ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•河?xùn)|區(qū)二模）如圖所示，四面體ABCD中，O、E分別是BD和BC的中點(diǎn)，且AB=AD=
2
，AC=BC=CD=BD=2
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求三棱錐E-ACD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，四面體ABCD被一平面所截，截面與四條棱AB、AC、CD、BD相交于E、F、G、H四點(diǎn)，且截面EFGH是一個平行四邊形.

求證：棱BC∥平面EFGH，AD∥平面EFGH.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河南省原名校高三下學(xué)期第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示，四面體ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．

（1）求證：AD⊥BC；

（2）求二面角B—AC—D的余弦值．

 

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