Question

已知點M（1，m）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，點M到拋物線C的焦點F的距離為2，過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁、l₂，設(shè)l₁與拋物線相交于點A、B，l₂與拋物線相交于點D、E．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點M（1，m）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，點M到拋物線C的焦點F的距離為2，利用拋物線的定義，可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)出直線l₁的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出兩根之和和兩根之積，同理將直線l₂的方程與拋物線聯(lián)立，求出兩根之和和兩根之積，將數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用拋物線的定義及基本不等式求最值，即可求得的最小值．
解答：解：（1）∵點M（1，m）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，點M到拋物線C的焦點F的距離為2，
∴，∴p=2
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）
由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零，設(shè)為k，則l₁的方程為y=k（x-1）．
由，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=2+，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴直線l₂的斜率為-，同理可得x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1．
==
=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+x₃x₄+x₃+x₄+1
=8+4（k²+）≥8+4×2=16，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=，即k=±1時，的最小值為16．
點評：本題考查定義法求拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是數(shù)量積的等價轉(zhuǎn)化及基本不等式的運用．