Question

（理）線段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0）（m＞0），端點(diǎn)A、B到x軸的距離之積為3m．以x軸為對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)A、O、B作拋物線，
（1）求拋物線方程；
（2）若直線AB的斜率為，求當(dāng)0＜m＜3時(shí)，tan∠AOB的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于線段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），可設(shè)方程為x-m=ty．假設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），聯(lián)立消去x得y²-2pty-2pm=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及端點(diǎn)A、B到x軸的距離之積為3m，可求拋物線的方程．
（2）用A，B的坐標(biāo)表示出tan∠AOB得到m的函數(shù)，再根據(jù)0＜m＜3，可確定tan∠AOB的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（y₁＞0，y₂＜0）．
由已知得y₁y₂=-3m．再設(shè)AB方程為：x-m=ty．
由得y²-2pty-2pm=0∴y₁y₂=-3m=-2pm，∴2p=3，所求拋物線方程為y²=3x-------------------------6′
（2）由（1）（7），，t=2，y₁，y₂是方程y²-6y-3m=0（11）的兩根，
所以y₁+y₂=6，∴y₁y₂=-3m，
==-------------10′
令s=m-3，則-3＜s＜0，設(shè)，
又∴，∴tan∠AOB＜-2----------------------------14′
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線方程的求解，考查利用函數(shù)的思想解決取值范圍問(wèn)題，屬于中檔題．