Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn),右頂點(diǎn)為A(1,0),點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上,點(diǎn)M(m,0)到直線AP的距離為1.

(1)若直線AP的斜率為k,且|k|∈［,］,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)當(dāng)m=+1時,△APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M,求此雙曲線的方程.

Answer 1

解：(1)由條件得直線AP的方程y=k(x-1),即kx-y-k=0,

因?yàn)辄c(diǎn)M到直線AP的距離為1,

∴=1,即|m-1|==.

∵|k|∈［,］,

∴≤|m-1|≤2.

解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-.

∴m的取值范圍是［-1,1-］∪［1+,3］.

(2)可設(shè)雙曲線方程為x²-=1(b≠0),

由M(+1,0),A(1,0)得|AM|=.

又因?yàn)镸是△APQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,

所以∠MAP=45°,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.

因此k_AP=1,k_AQ=-1(不妨設(shè)P在第一象限),直線PQ的方程為x=2+,

直線AP的方程為y=x-1.

∴解得P的坐標(biāo)是(2+,1+).

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入x²-=1得b²=,

所以所求雙曲線方程為x²-y²=1,

即x²-(2-1)y²=1.