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設a,b,c,x,y,z均為正實數,且滿足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.

解析:根據已知等式的特點,可考慮用柯西不等式.

由柯西不等式等號成立的條件,知=λ,再由等比定理,得=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不等式,得

302=(ax+by+cz)2

≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)

=25×36,

當且僅當=λ時,上式等號成立.

于是a=λx,b=λy,c=λz,從而有

λ2(x2+y2+z2)=25,

∴λ=±(舍負),

即.

故由等比定理,得=.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a，b，c是正常數，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），
（1）求證：
a2
x
+
b2
y
+
c2
z
≥
(a+b+c)2
x+y+z
，并指出等號成立的條件；
（2）利用（1）的結論：
①求函數f(x)=
1
x
+
4
1-2x
+
25
1+x
(x∈(0，
1
2
))的最小值，并求出相應的x值；
②設a、b、c∈（0，1），求證：
a
1-bc2
+
b
1-ca2
+
c
1-ab2
≥
a+b+c
1-abc
．

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A.   B.   C.  D,

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