Question

已知橢圓C：的離心率，一條準(zhǔn)線方程為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)G，H為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OG⊥OH．
①當(dāng)直線OG的傾斜角為60°時(shí)，求△GOH的面積；
②是否存在以原點(diǎn)O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請求出該定圓方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓C的離心率，一條準(zhǔn)線方程為，建立方程組，求得幾何量，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①確定G，H的坐標(biāo)，求得OG，OH的長，即可求△GOH的面積；
②假設(shè)存在滿足條件的定圓，設(shè)圓的半徑為R，則OG•OH=R•GH，因?yàn)镺G²+OH²=GH²，故，分類討論可得結(jié)論．
解答：解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，一條準(zhǔn)線方程為．
所以，，a²=b²+c²，…（2分）
解得，
所以橢圓方程為． …（4分）
（2）①由，解得，…（6分）
由得，…（8分）
所以，所以．…（10分）
②假設(shè)存在滿足條件的定圓，設(shè)圓的半徑為R，則OG•OH=R•GH
因?yàn)镺G²+OH²=GH²，故，
當(dāng)OG與OH的斜率均存在時(shí)，不妨設(shè)直線OG方程為：y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，可得，
∴
同理可得
∴，∴R=
當(dāng)OG與OH的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，可得
故滿足條件的定圓方程為x²+y²=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵．