Question

已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O為底ABCD對角線的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面AB₁D₁； 
（Ⅱ）求A₁到平面AB₁D₁的距離．

Answer 1

分析：（I）利用三垂線定理證明A₁C垂直于平面AB₁D₁的兩條相交直線，由線線垂直證明線面垂直；
（II）利用三棱錐的換底性，VA-A1B1D1=VA1-AB1D1，求三棱錐A₁-AB₁D₁的高．

解答：解：（I）證明：∵幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴CD⊥平面ADD₁A₁，
∴A₁D為A₁C在平面ADD₁A₁內(nèi)的射影，∵A₁D⊥AD₁，
由三垂線定理得A₁C⊥AD₁，
同理可證A₁C⊥B₁D₁，又B₁D₁∩AD₁=D₁，
∴A₁C⊥平面AB₁D₁．
（II）∵棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴△AB₁D₁為邊長為

2

的等邊三角形，
設(shè)A₁到平面AB₁D₁的距離h，由三棱錐的換底性，
知VA-A1B1D1=VA1-AB1D1，即

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

3

2

×h，
解得h=

3

3

．
即A₁到平面AB₁D₁的距離為

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的判定，考查了用三垂線定理證明線線垂直及用三棱錐的換底性求點(diǎn)到平面的距離，考查了學(xué)生的空間想象能力．