Question

對于函數(shù)f(x)=(x²－2ax＋3)回答下列問題

(1)若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

(2)若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

(3)若函數(shù)在[－1，＋∞)內有意義，有實數(shù)a的取值范圍．

(4)若函數(shù)的定義域為(－∞，1)∪(3，＋∞)，求實數(shù)a的值．

(5)若函數(shù)的值域為(－∞，－1]，求實數(shù)a的值．

(6)若函數(shù)在(－∞，1]內為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

熱點分析　　這是一組概念很深刻的問題，需要熟練運用對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質 　　解答　　記u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2． 　　(1)∵u＞0對x∈R恒成立， 　　∴umin＝3－a2＞0－＜a＜， 　　∴a的取值范圍是(－，)； 　　(2)這是一個較難理解的問題，從“l(fā)ogax的值域為R”這點思考，“u的值域為R”等價于“u＝g(x)能取遍(0，＋∞)的一切值”，或理解為“u＝g(x)的值域包含了區(qū)間(0，＋∞)”． 　　∵u＝g(x)的值域為[3－a2，＋∞)(0，＋∞)， 　　∴命題等價于umin＝3－a2≤0a≤－或a≥，∴a的取值范圍是(－∞，－]∪[，＋∞)； 　　(3)應注意“在[－1，＋∞)內有意義”與定義域的概念是不同的， 　　命題等價于“u＝g(x)＞0對x∈[－1，＋∞)恒成立”，應按g(x)的對稱軸x0＝a分類， 　　∴或 　　或 　　∴a的取值范圍是(－2，)； 　　(4)由定義域的概念知，命題等價于 　　不等式x2－2ax＋3＞0的解集為{x|x＜1或x＞3}， 　　∴x1＝1，x2＝3是方程x2－2ax＋3＝0的兩根， 　　∴a＝2，即a的值為2； 　　(5)由對數(shù)函數(shù)性質易知：g(x)的值域為[2，＋∞)，由此學生很容易得g(x)≥2，但這是不正確的，因為：“g(x)≥2”與“g(x)的值域為[2，＋∞)”并不等價，后者要求g(x)能取遍[2，＋∞)的一切值(而且不能多取)．因為g(x)的值域是[3－a2，＋∞)， 　　∴命題等于[g(x)]min＝3－a2＝2a＝±1， 　　即a的值為±1； 　　(6)命題等價于：即得a的取值范圍是[1，2)． 　　評析　　學習函數(shù)知識，要非常準確地理解與掌握函數(shù)中的每個概念．許多函數(shù)的概念都有很深刻的內涵，解決問題時要仔細揣摩，才能作出準確的解答，并要在學習中不斷積累經(jīng)驗．