Question

已知二次函數(shù)f（x）的頂點坐標(biāo)為（1，1），且f（0）=3．
（1）當(dāng)x∈[-1，1]，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．
（2）若f（x）在區(qū)間[a，a+1]上的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．
（3）求g（a）最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax²+bx+3
∵函數(shù)f（x）圖象的頂點坐標(biāo)為（1，1），
∴=1且f（1）=a+b+3=1．解之得a=2，b=-4
∴二次函數(shù)的解析式為f（x）=2x²-4x+3
∵y=f（x）當(dāng)x∈[-1，1]時的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，
∴2x²-4x+3＞2x+2m+1在區(qū)間[-1，1]恒成立，即2m＜2x²-6x+2在區(qū)間[-1，1]恒成立，
∵函數(shù)t=2x²-6x+2在區(qū)間[-1，1]是減函數(shù)
∴當(dāng)x=1時，2x²-6x+2的最小值是-2，
可得當(dāng)2m＜2x²-6x+2在區(qū)間[-1，1]恒成立時，2m＜-2，即m＜-1；
（2）∵f（x）=2x²-4x+3的圖象是關(guān)于直線x=1對稱的拋物線，開口向上
∴函數(shù)在區(qū)間[a，a+1]上的最大值為f（a）和f（a+1）中的較大值
∵f（a+1）-f（a）=4a-2，
∴當(dāng)a時，4a-2≥0，可得f（a+1）＞f（a），函數(shù)最大值為f（a+1）=2a²+1
當(dāng)a時，4a-2＜0，可得f（a+1）＜f（a），函數(shù)最大值為f（a）=2a²-4a+3
因此，f（x）在區(qū)間[a，a+1]上的最大值g（a）的表達(dá)式為g（a）=
（3）當(dāng)a時，g（a）=2a²+1在區(qū)間[，+∞）上是增函數(shù)，最小值為g（）=，
當(dāng)a時，g（a）=2a²-4a+3，在區(qū)間（-∞，）上是減函數(shù)，最小值大于g（）
∴函數(shù)g（a）最小值為g（）=
分析：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為f（x）=ax²+bx+c，結(jié)合已知條件建立關(guān)于a、b、c的方程組，解之即得a、b、c的值，從而得到f（x）的解析式．再用變量分離的方法，通過求最值得到使函數(shù)在[-1，1]上的圖象恒在y=2x+2m+1的上方的m取值范圍．
（2）因為函數(shù)f（x）的圖象是關(guān)于直線x=1對稱的拋物線且開口向上，可得f（x）在區(qū)間[a，a+1]上的最大值為f（a）和f（a+1）中的較大值，再用作差比較的方法，得到不同情況下函數(shù)最大值的情況，從而得到f（x）在區(qū)間[a，a+1]上的最大值g（a）的表達(dá)式．
（3）由二次函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)g（a）在R上先減后增，由此不難得到函數(shù)g（a）最小值．
點評：本題以二次函數(shù)為例，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的表達(dá)式，并求不等式恒成立時參數(shù)m的取值范圍，著重考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、圖象的對稱性和函數(shù)恒成立問題的討論等知識，屬于中檔題．