Question

如圖，直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

．橢圓G以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
（Ⅰ）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求橢圓G的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)E滿足

EC

=

1

2

AB

，問(wèn)是否存在不平行AB的直線l與橢圓G交于M、N兩點(diǎn)且|ME|=|NE|，若存在，求出直線l與AB夾角正切值的范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而可知A，B的坐標(biāo)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)AB的距離求得c，把x=c代入橢圓方程，求得

b2

a

=

3

2

，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程消去y，根據(jù)判別式得出k和m的不等式關(guān)系，設(shè)M，N和MN中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理得出x₀和y₀的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)|ME|=|NE|，可推斷出MN⊥EF，進(jìn)而表示出兩直線的斜率使其乘積等于-1求得m和k的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)m和k的不等式關(guān)系確定k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）如圖，以AB所在直線為x軸，
AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，?A（-1，0），B（1，0）．
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
令x=c?y0=

b2

a

，
∴

C=1 b2 a = 3 2

?

a=2 b= 3

．
∴橢圓C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）

EC

=

1

2

AB

?E(0，

1

2

)，l⊥AB時(shí)不符；
設(shè)l：y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

?(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0．
M、N存在??△＞0?64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0?4k²+3≥m²．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)F（x₀，y₀）
∴x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，
y0=kx0+m=

3m

3+4k2

．
|ME|=|NE|?MN⊥EF?

y0- 1 2

x0

=-

1

k

?

3m 3+4k2 - 1 2

- 4km 3+4k2

=-

1

k

?m=-

3+4k2

2

，
∴4k2+3≥(-

3+4k2

2

)2，∴4k²+3≤4，
∴0＜k²≤1，∴-1≤k≤1且k≠0．
∴l(xiāng)與AB的夾角的范圍是（0，

π

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，基本的運(yùn)算能力．