Question

【題目】已知以點(diǎn)為圓心的圓過原點(diǎn).

（1）設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，若，求圓的方程；

（2）在（1）的條件下，設(shè)，且分別是直線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】試題分析：（1），所以原點(diǎn)在的中垂線上.利用兩條直線斜率乘積等于，解得或，經(jīng)驗(yàn)證不符合題意，所以，圓的方程為；（2）在三角形中，兩邊之差小于第三邊，故，又三點(diǎn)共線時(shí)最大，所以的最大值為.線的方程為與聯(lián)立求得交點(diǎn)為.

試題解析：

（1）∵，所以，則原點(diǎn)在的中垂線上.

設(shè)的中點(diǎn)為，則，

∴三點(diǎn)共線.

∵直線的方程是，∴直線的斜率，解得或，

∴圓心為或，

∴圓的方程為或.

由于當(dāng)圓方程為時(shí)，圓心到直線的距離，

此時(shí)不滿足直線與圓相交，故舍去.

∴圓的方程為.

（2）在三角形中，兩邊之差小于第三邊，故，

又三點(diǎn)共線時(shí)最大，

所以的最大值為.

∵， ，∴直線的方程為，

∴直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.