Question

12．設(shè)數(shù)列{x_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)且x₁=1．如圖，△ABC所在平面上的點(diǎn)P_n（n∈N^*）均滿足△P_nAB與△P_nAC的面積比為3：1，若（2x_n+1）$\overrightarrow{{P}_{n}C}$+$\overrightarrow{{P}_{n}A}$=$\frac{1}{3}$x_n+1$\overrightarrow{{P}_{n}B}$，則x₅的值為31．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，作出平行四邊形P_nAED，使$\overrightarrow{{P}_{n}D}$=（2x_n+1）$\overrightarrow{{P}_{n}C}$，$\overrightarrow{{P}_{n}E}$=$\frac{1}{3}$x_n+1$\overrightarrow{{P}_{n}B}$，根據(jù)幾何意義得出$\frac{{S}_{{△P}_{n}AE}}{{S}_{{△P}_{n}AB}}$與$\frac{{S}_{{△P}_{n}AC}}{{S}_{{△P}_{n}AE}}$的值，從而得出x_n+1與x_n的遞推關(guān)系，即可求出x₅的值．

解答 解：因?yàn)椋?x_n+1）$\overrightarrow{{P}_{n}C}$+$\overrightarrow{{P}_{n}A}$=$\frac{1}{3}$x_n+1$\overrightarrow{{P}_{n}B}$，
用圖形表示上面等式如下：

其中$\overrightarrow{{P}_{n}D}$=（2x_n+1）$\overrightarrow{{P}_{n}C}$，$\overrightarrow{{P}_{n}E}$=$\frac{1}{3}$x_n+1$\overrightarrow{{P}_{n}B}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}E}|}{|\overrightarrow{{P}_{n}B}|}$=$\frac{1}{3}$x_n+1，$\frac{{S}_{{△P}_{n}AE}}{{S}_{{△P}_{n}AB}}$=$\frac{1}{3}$x_n+1；
又∵$\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}C}|}{|\overrightarrow{{P}_{n}D}|}$=$\frac{{P}_{n}C}{AE}$=$\frac{1}{{2x}_{n}+1}$，
∴$\frac{{S}_{{△P}_{n}AC}}{{S}_{{△P}_{n}AE}}$=$\frac{1}{{2x}_{n}+1}$，
∴$\frac{{S}_{{△P}_{n}AC}}{{S}_{{△P}_{n}AB}}$=$\frac{{x}_{n+1}}{3{（2x}_{n}+1）}$=$\frac{1}{3}$；
即x_n+1=2x_n+1，
∴x_n+1+1=2（x_n+1）；
∴{x_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
∴x₅+1=2•2⁴，解得x₅=31．
故答案為：31．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量加法的平行四邊形法則與數(shù)乘的幾何意義，兩個三角形面積的比值的應(yīng)用問題，也考查了等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，是難題．