已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率互為倒數(shù),它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)直線(xiàn)(其中為整數(shù)).
(1)試求橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn),與雙曲線(xiàn)交于不同兩點(diǎn),問(wèn)是否存在直線(xiàn),使得向量,若存在,指出這樣的直線(xiàn)有多少條?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)橢圓為: ,雙曲線(xiàn)為:(2)存在,滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有9條.
【解析】
試題分析:(1)將點(diǎn)代入即可求出橢圓的方程,通過(guò)橢圓的離心率求出雙曲線(xiàn)的離心率,聯(lián)立離心率和雙曲線(xiàn)的方程,求出;(2)因?yàn)橹本(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn),所以聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程,消去,整理方程即可.
試題解析:(1)將點(diǎn)代入解得
∴橢圓為: , (2分)
橢圓的離心率為∴雙曲線(xiàn)的離心率為, (3分)
∴,
∴雙曲線(xiàn)為: (6分)
(2)由消去化簡(jiǎn)整理得:
設(shè),,則
① (8分)
由消去化簡(jiǎn)整理得:
設(shè),,則
② (10分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091800251940095871/SYS201309180027059791627819_DA.files/image028.png">,所以,
由得:.
所以或.由上式解得或.
當(dāng)時(shí),由①和②得.因是整數(shù),
所以的值為
當(dāng),由①和②得.因是整數(shù),所以.
于是滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有9條. (13分)
考點(diǎn):1.求橢圓、雙曲線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬)(12分)
已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓是它的兩個(gè)焦點(diǎn).
(Ⅰ)若橢圓上存在一點(diǎn)P,使得試求的取值范圍;
(Ⅱ)若橢圓的離心率為,經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),且,求直線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆江西南昌八一、洪都、麻丘中學(xué)高二上期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為,它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A. B. C. D.
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(本題滿(mǎn)分15分)已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn).
(。┤糁本(xiàn)垂直于軸,求的大小;
(ⅱ)若直線(xiàn)與軸不垂直,是否存在直線(xiàn)使得為等腰三角形?如果存在,求出直線(xiàn)的方程;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年黑龍江省高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(文) 題型:選擇題
1. 已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為, 且,弦過(guò)焦點(diǎn),則的周長(zhǎng)為
A. B. C. D.
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