已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率互為倒數(shù),它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)直線(xiàn)(其中為整數(shù)).

(1)試求橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn),與雙曲線(xiàn)交于不同兩點(diǎn),問(wèn)是否存在直線(xiàn),使得向量,若存在,指出這樣的直線(xiàn)有多少條?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

【答案】

(1)橢圓為: ,雙曲線(xiàn)為:(2)存在,滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有9條.

【解析】

試題分析:(1)將點(diǎn)代入即可求出橢圓的方程,通過(guò)橢圓的離心率求出雙曲線(xiàn)的離心率,聯(lián)立離心率和雙曲線(xiàn)的方程,求出;(2)因?yàn)橹本(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn),所以聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程,消去,整理方程即可.

試題解析:(1)將點(diǎn)代入解得

∴橢圓為: ,                                        (2分)

橢圓的離心率為∴雙曲線(xiàn)的離心率為,               (3分)

,

∴雙曲線(xiàn)為:                                         (6分)

(2)由消去化簡(jiǎn)整理得:

設(shè),,則

      ①                      (8分)

消去化簡(jiǎn)整理得:

設(shè),,則

      ②                      (10分)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091800251940095871/SYS201309180027059791627819_DA.files/image028.png">,所以,

得:

所以.由上式解得

當(dāng)時(shí),由①和②得.因是整數(shù),

所以的值為

當(dāng),由①和②得.因是整數(shù),所以

于是滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有9條.                                   (13分)

考點(diǎn):1.求橢圓、雙曲線(xiàn)的方程.

 

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A.    B.     C.         D.

 

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A.            B.               C.           D.

 

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