Question

根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x₁，x₂，…，x_k，…； y₁，y₂，…，y_k，…．
（Ⅰ）分別求數(shù)列{x_k}和{y_k}的通項公式；
（Ⅱ）令z_k=x_ky_k，求數(shù)列{z_k}的前k項和T_k，其中k∈N₊，k≤2007．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)框圖可知數(shù)列{x_k}為等差數(shù)列，首項為1，公差為2，進而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{x_k}的通項公式，對于{y_k}易得y_k+1=3y_k+2變形得y_k+1+1=3（y_k+1），利用等比數(shù)列的通項公式求得y_k+1=3^k進一步求出y_k=3^k-1．
（II）根據(jù)（I）中求得的{x_k}和{y_k}的通項公式，求得z_k=（2k-1）3^k-（2k-1），進而利用錯位相減法求得答案．

解答：解：（I）依框圖得數(shù)列{x_k}為等差數(shù)列，首項為1，公差為2
所以x_k=1+2×（k-1）=2k-1
而對于{y_k}易得y_k+1=3y_k+2變形得y_k+1+1=3（y_k+1）
所以{y_k+1}是以y₁+1=3為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
所以y_k+1=3^k
所以y_k=3^k-1
（II）由題意知，z_k=（2k-1）（3^k-1）=（2k-1）3^k-（2k-1）
設S_k=1×3+3×3²+5×3³+…+（2k-1）•3^k
3S_k=1×3²+3×3³+…+（2k-3）•3^k+（2k-1）3^k+1
兩式相減得
-2S_k=2（1-k）•3^k+1-6
所以D_k=3-（1-k）•3^k+1．
∴T_k=3-（1-k）•3^k+1-k²．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，及數(shù)列求和問題．由等差數(shù)列和等比數(shù)列構成的數(shù)列�？捎缅e位相減法求和．