已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點(diǎn),
(1)若以AB線段為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=
12
x
對(duì)稱?說(shuō)明理由.
分析:(1)聯(lián)立方程
3x2-y2=1
y=ax+1
,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x1+x2,x1x2,代入直線y=ax+1可求y1y2=(ax1+1)(ax2+1),由題意可得,
OA
OB
,即x1x2+y1y2=0,代入可求a的值.
(2)假定存在這樣的a,使A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=
1
2
x
對(duì)稱.則由
3x12-y12=1
3x22-y22=1
,兩式相減得:3(x12-x22)=y12-y22,由題意可知
y1+y2
2
1
2
×
x1+x2
2
y1-y2
x1-x2
= -2
,整理可求
解答:解:(1)聯(lián)立方程
3x2-y2=1
y=ax+1
,消去y得:(3-a2)x2-2ax-2=0.…(2分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么:
x1+x2=
2a
3-a2
x1x2=-
2
3-a2
△=(2a)2+8(3-a2)>0
…(4分)
由于以AB線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),那么:
OA
OB
,即x1x2+y1y2=0.
所以:x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,
(a2+1)×
-2
3-a2
+a×
2a
3-a2
+1=0,a2<6

∴-2(a2+1)+2a2+3-a2=0
即a2=1
解得a=±1…(6分)
(2)假定存在這樣的a,使A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=
1
2
x
對(duì)稱.…(8分)
那么:
3x12-y12=1
3x22-y22=1
,兩式相減得:3(x12-x22)=y12-y22,從而
y1-y2
x1-x2
=
3(x1+x2)
y1+y2
…(*)

因?yàn)锳(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=
1
2
x
對(duì)稱,所以
y1+y2
2
1
2
×
x1+x2
2
y1-y2
x1-x2
= -2

代入(*)式得到:-2=6,矛盾.
也就是說(shuō):不存在這樣的a,使A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=
1
2
x
對(duì)稱.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與雙曲線相交關(guān)系的應(yīng)用,方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用,屬于綜合性試題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1;
(1)當(dāng)a為何值時(shí),直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn);
(2)直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)且以PQ為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求a值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求a的值.

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已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點(diǎn),(1)若以AB線段為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值。(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱?說(shuō)明理由。

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已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點(diǎn)。

(1)若以AB線段為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值。

(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱?說(shuō)明理由。

 

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