Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，圓G：（x-1）²+y²=1若P是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓G的切線，切點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C右準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則$\frac{PQ}{PH}$的取值范圍為$[\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{15}}{12}]$．

Answer 1

分析 如圖所示，由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得焦點(diǎn)F，離心率e=$\frac{1}{3}$，準(zhǔn)線方程．由圓G：（x-1）²+y²=1，可得圓心G，因此圓心即焦點(diǎn)．可得$\frac{|PG|}{|PH|}$=$\frac{1}{3}$．由切線的性質(zhì)可得：|PQ|=$\sqrt{|PG{|}^{2}-1}$．于是$\frac{|PQ|}{|PH|}$=$\sqrt{（\frac{|PG|}{|PH|}）^{2}-\frac{1}{|PH{|}^{2}}}$．由于6≤|PH|≤12，即可得出．

解答 解：如圖所示，
由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得焦點(diǎn)F（1，0），離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，準(zhǔn)線方程為：x=9．
由圓G：（x-1）²+y²=1，可得圓心G（1，0），因此圓心即焦點(diǎn)．
∴$\frac{|PG|}{|PH|}$=$\frac{1}{3}$．
由切線的性質(zhì)可得：|PQ|=$\sqrt{|PG{|}^{2}-1}$．
∴$\frac{|PQ|}{|PH|}$=$\frac{\sqrt{|PG{|}^{2}-1}}{|PH|}$=$\sqrt{（\frac{|PG|}{|PH|}）^{2}-\frac{1}{|PH{|}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{1}{|PH{|}^{2}}}$．
∵6≤|PH|≤12，
∴$\frac{1}{1{2}^{2}}≤\frac{1}{|PH{|}^{2}}≤\frac{1}{{6}^{2}}$，
∴$\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{1}{|PH{|}^{2}}}$∈$[\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{15}}{12}]$．
∴$\frac{PQ}{PH}$的取值范圍為$[\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{15}}{12}]$．
故答案為：$[\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{15}}{12}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．