Question

如圖，游樂場所的摩天輪逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一周需要12min，其中心O離地面45米，半徑40米．如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離y與時間t（min）滿足y=B+Acos（ωt+ψ），以你登上摩天輪的時刻開始計時，請回答下列問題：
（1）求出你與地面的距離y和時間t（min）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)你登上摩天輪2分鐘后，你的朋友也在摩天輪的最低處登上摩天輪，問你的朋友登上摩天輪多少時間后，第一次出現(xiàn)你和你的朋友與地面的距離之差最大？求出這個最大值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先根據(jù)已知條件建立相應(yīng)的等量關(guān)系，求出距離和時間的關(guān)系式．
（2）根據(jù)（1）所求的關(guān)系應(yīng)用到實際問題中，然后建立相應(yīng)的差值，根據(jù)三角變換，求出相應(yīng)的結(jié)果．

解答： 解：（1）∵摩天輪的角速度ω=

2π

12

=

π

6

∴最低點的角終邊OQ到與地面的距離y的角終邊OA的角θ=

π

6

t，
∴y=45-40cosθ
即與地面的距離y與時間t（min）的函數(shù)關(guān)系式為y=45-40cos

π

6

t                            
（2）當(dāng)朋友距離地面高度y2=45-40cos

π

6

t 時
這時自己距離地面高度y1=45-40cos

π

6

(t+2) 
y1-y2=40[cos

π

6

t-cos

π

6

(t+2)]=40[cos

π

6

t-cos

π

6

tcos

π

3

+sin

π

6

tsin

π

3

]
=40(

1

2

cos

π

6

t+

3

2

sin

π

6

t)=40sin

π

6

(t+1)
當(dāng)兩人所處位置連線垂直地面時，距離之差最大，這時t=2，即當(dāng)你的朋友登上摩天輪2min后，第一次出現(xiàn)你和你的朋友與地面的距離之差最大．最大值為40m．

點評：本題考查的知識點：求三角函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)關(guān)系式的變換．屬三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題．