Question

已知函數(shù)f（x）=log₃x
（1）若函數(shù)f（x²-2ax+3）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知函數(shù)f（x²-2ax+3）是由y=log₃t和t（x）=x²-2ax+3復(fù)合而來，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論，只要t（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增且f（x）＞0即可．
（2）將f（ax）•f（ax²）=f（3）用換元法轉(zhuǎn)化關(guān)于t的一元二次方程2t²+（3log₃^a）t+（log₃^a）²-1=0，再利用根的分布來求解．

解答：解：（1）令t（x）=x²-2ax+3，由題意知：
t（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增且f（x）＞0

a≤2 t(2)=4-4a+3＞0

又a∈R⁺解得：0＜a＜

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4

（2）易知a＞0
f（ax）•f（ax²）=f（3）
令t=log₃^x
可化為關(guān)于t的一元二次方程
2t²+（3log₃^a）t+（log₃^a）²-1=0
只有負(fù)根

△=9( log a 3 )2-8(( log a 3 )2-1)≥0 - 3 log a 3 2 ＜0 ( log a 3 )2-1 2 ＞0

解得：log_a³＞1，
∴a＞3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和一元二次方程根的分布，換元法是解決本類問題的根本．