Question

以下是正弦函數的定義：
在平面直角坐標系中，設α的終邊上任意一點P的坐標是（x，y），它與原點的距離是r （r＞0），比值

y

r

叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=

y

r

；
請使用此定義，證明：（1）正弦函數的值域為[-1，1]；（2）函數f（α）=sinα是奇函數．

Answer 1

分析：（1）當α的終邊沒有落在坐標軸上時，根據直角三角形的性質斜邊大于直角邊，即r＞|y|，當α的終邊落在x軸上時，y=0，當α的終邊落在y軸上時，|y|=r，進而得到正弦函數的值域為[-1，1]．
（2）由題意可得：函數f（α）=sinα的定義域為：R，并且得到f（-α）=

-y

r

=-sinα=-f（α），進而得到此函數為奇函數．

解答：解：（1）當α的終邊沒有落在坐標軸上時，根據直角三角形的性質斜邊大于直角邊，即r＞|y|，
所以|

y

r

|＜1，并且|

y

r

|≠0，
當α的終邊落在x軸上時，y=0，此時|

y

r

|=0，
當α的終邊落在y軸上時，|y|=r，此時|

y

r

|=1，
所以|

y

r

|≤1，即正弦函數的值域為[-1，1]．
（2）由題意可得：函數f（α）=sinα的定義域為：R，
又因為f（-α）=

-y

r

=-sinα=-f（α），即f（-α）=-f（α），
所以函數f（α）=sinα是奇函數．

點評：此題主要考查正弦函數的定義與有關的性質，以及考查奇函數的定義，并且能夠利用定義證明函數的奇偶性．