Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3

cos(x+

π

6

)-cosx，將f（x）的圖象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）設(shè)h（x）=f（ωx）（ω＞0），求使h（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上是減函數(shù)的ω的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的余弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，并結(jié)合函數(shù)圖象平移的公式，可得g（x）=-sin（x-

π

3

）；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式，解出函數(shù)h（x）的減區(qū)間為[

1

ω

（-

π

3

+2kπ），

1

ω

（

2π

3

+2kπ）]（k∈Z），再根據(jù)題意建立關(guān)于ω的不等式組，解之即可滿足條件的ω的最大值等于2．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

cos(x+

π

6

)-cosx=

3

2

cosx-

3

2

sinx-cosx
=

1

2

cosx-

3

2

sinx=-sin（x-

π

6

）
∴f（x）的圖象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后，得到g（x）=-sin（x-

π

3

）的圖象
因此g（x）的解析式是g（x）=-sin（x-

π

3

）
（2）h（x）=f（ωx）=-sin（ωx-

π

6

）
令-

π

2

+2kπ≤ωx-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

π

3

+2kπ≤ωx≤

2π

3

+2kπ（k∈Z），
∴函數(shù)h（x）的減區(qū)間為[

1

ω

（-

π

3

+2kπ），

1

ω

（

2π

3

+2kπ）]（k∈Z），
∵當(dāng)h（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上是減函數(shù)
∴當(dāng)k=0時(shí)，-

π

3ω

≤-

π

6

且

2π

3ω

≥

π

6

，解之得ω≤2
故滿足條件的ω的最大值等于2．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)的圖象變換，求函數(shù)的表達(dá)式并討論函數(shù)的減區(qū)間．著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．