Question

已知：如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC＝1∶1∶．

　　

(Ⅰ)求PB與平面PDC所成角的大��；

(Ⅱ)求二面角D—PB—C的正切值；

(Ⅲ)若AD＝BC，E為PC中點(diǎn)，求證DE∥平面PAB．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：由PD⊥平面ABCD， BC平面ABCD，得PD⊥BC． 　　 由AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC． 又PD∩DC＝D，則BC⊥平面PDC 所以∠BPC為直線PB與平面PDC所成的角 令PD＝1，則DC＝1，BC＝，可求出PC＝ 由BC⊥平面PDC，PC平面PDC，得BC⊥PC． 在Rt△PBC中，由PC＝BC得∠BPC＝ 即直線PB與平面PDC所成的角為 (Ⅱ)解法(一)： 取PC中點(diǎn)E，連DE，則DE⊥PC． 由BC⊥平面PDC，BC平面PBC，得平面PDC⊥平面PBC． 則DE⊥平面PBC 作EF⊥PB于F，連DF， 由三垂線定理，得DF⊥PB． 則∠DFE為二面角D—PB—C的平面角 在Rt△PDC中，求得DE＝ 在Rt△PFE中，求得EF＝ 在Rt△DFE中，tan∠DFE＝． 即二面角D—PB—C的正切值為 解法(二)： 由PD⊥平面ABCD，PD平面PDB得平面PDB⊥平面ABCD 作CH⊥BD于H，則CH⊥平面PDB． 作HF⊥PB于F，連CF，由三垂線定理得CF⊥PB． 則∠CFH為二面角D—PB—C的平面角 在等腰Rt△PBC中，求出斜邊上的中線CF＝1． 在Rt△DBC中，求出DB＝．可進(jìn)一步求出斜邊上的高CH＝． 在Rt△FHC中，求出HF＝．∴tan∠HFC＝． 即二面角D—PB—C的正切值為 (Ⅲ)證：取PB中點(diǎn)G，連AG和EG．由三角形中位線定理得GE∥BC，GE＝BC． 由已知，AD∥BC，AD＝BC． ∴AD＝GE，AD∥GE． 則四邊形AGED為平行四邊形， ∴AG∥DE 又AG平面PAB，DE平面PAB， ∴DE∥平面PAB．