Question

如圖，將圓分成n個(gè)區(qū)域，用3種不同顏色給每一個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為a_n．
（1）a₄=

 

（2）a_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）直接求出n=1時(shí)a₁，n=2時(shí)a₂，n=3時(shí)a₃，n=4時(shí)a₄的值；
（2）依次對(duì)扇形區(qū)域染色求出a_n然后說明它與a_n+1（n≥2）的關(guān)系式，令n=1，2，3，4，…n時(shí)寫出關(guān)系式，利用累加法求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不同的染色方法種數(shù)a₁=3，
當(dāng)n=2時(shí)，不同的染色方法種數(shù)a₂=3×2=6，
當(dāng)n=3時(shí)，不同的染色方法種數(shù)a₃=3×2×1=6，
當(dāng)n=4時(shí)，分扇形區(qū)域1，3同色與異色兩種情形，∴不同的染色方法種數(shù)a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18；
（2）依次對(duì)扇形區(qū)域1，2，3，…，n，n+1染色，不同的染色方法種數(shù)為3×2ⁿ（n≥2），其中扇形區(qū)域1與n+1不同色的有a_n+1種，扇形區(qū)域1與n+1同色的有a_n種，
∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
∴a₂+a₃=3×2²，a₃+a₄=3×2³，…，a_n-1+a_n=3×2^n-1，將上述n-2個(gè)等式兩邊分別乘以（-1）^k（k=2，3，…，n-1），再相加得
a₂+（-1）^n-1a_n=3×2²-3×2³+…+3×（-1）^k×2^n-1=3×

22[1-(-2)n-1]

1-(-2)

，
∴a_n=2ⁿ+2•（-1）ⁿ．
故答案為：18；2ⁿ+2•（-1）ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合的應(yīng)用，數(shù)列的求和的基本方法，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，難度較大．