過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A1在空間作直線l，使l與直線AC和BC1所成的角都等于
π
3
，則這樣的直線l共可以作出（　�。�
A、1條B、2條C、3條D、4條
分析：根據(jù)題意，因?yàn)锳D1∥BC1，所以直線AC和BC1所成的角即為直線AC和AD1所成的角，所以過A1在空間作直線l，使l與直線AC和BC1所成的角都等于
π
3
，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)A在空間作直線l，使l與直線AC和AD1所成的角都等于
π
3
．可分在平面ACD1內(nèi)和在平面ACD1外兩種情況尋找．因?yàn)橐c直線AC和AD1所成的角都相等，故在平面ACD1內(nèi)可考慮角平分線；在平面ACD1外可將角平分線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)考慮．
解答：解：因?yàn)锳D1∥BC1，所以直線AC和BC1所成的角即為直線AC和AD1所成的角，所以過A1在空間作直線l，使l與直線AC和BC1所成的角都等于
π
3
，即過點(diǎn)A在空間作直線l，使l與直線AC和AD1所成的角都等于
π
3
．
因?yàn)椤螦CD1=60°，∠ACD1的外角平分線與AC和AD1所成的角相等，均為60°，所以在平面ACD1內(nèi)有一條滿足要求．
因?yàn)椤螦CD1的角平分線與AC和AD1所成的角相等，均為30°，將角平分線繞點(diǎn)A向上轉(zhuǎn)動到與面ACD1垂直的過程中，存在兩條直線與直線AC和BC1所成的角都等于
π
3
，故符合條件的直線有3條．
故選C
點(diǎn)評：本題考查異面直線所成角的問題，考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過正方體ABCD-A1B1C1D1的中心O與棱AB，AD，AA1所在直線都成等角的平面?zhèn)�數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA'，CC'的中點(diǎn)，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB'、DD'交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD'B'；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=
1
2
時，四邊形MENF的面積最�。�
③四邊形MENF周長L=f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；
以上命題中假命題的序號為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E、F 分別是棱AA'，CC'的中點(diǎn)，過直線E、F的平面分別與棱BB′，DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，四邊形MENF的周長最大；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=
1
2
時，四邊形MENF的面積最小；
③四棱錐C′-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；
④正方體ABCD-A′B′C′D′被截面MENF平分成等體積的兩個多面體．
以上命題中正確命題的個數(shù)（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正方體ABCD-A/B/C/D/的棱長為8cm，M，N，P分別是AB，A/D/，BB/棱的中點(diǎn)．
（1）畫出過M，N，P三點(diǎn)的平面與平面A/B/C/D/及平面BB/C/C的交線，并說明畫法的依據(jù)；
（2）設(shè)過M，N，P三點(diǎn)的平面與B/C/交于點(diǎn)Q，求PQ的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過對角線BD′的一個平面交棱AA′于E，交棱CC′于F，則：
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；
②四邊形BFD′E有可能是正方形；
③四邊形BFD′E有可能是菱形；
④四邊形BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
其中所有正確結(jié)論的序號是
 
．

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