Question

（2012•江蘇二模）記fn(x，y)=(x+y)n-(xn+yn)，其中x，y為正實數(shù)，n∈N₊．給定正實數(shù)a，b滿足a=

b

b-1

．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意正整數(shù)n，f_n（a，b）≥f_n（2，2）．

Answer 1

分析：欲證不等式為（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，第2步，先證明akb+abk≥2

(ab)k+1

=2k+2，再利用歸納假設(shè)，即可證得結(jié)論．

解答：證明：欲證不等式為（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹
（1）當(dāng)n=1時，不等式左邊=0，右邊=0，不等式成立；
（2）假設(shè)n=k時，不等式成立，即（a+b）^k-a^k-b^k≥2^2k-2^k+1
由正實數(shù)a，b滿足a=

b

b-1

，可得a+b=ab
∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2

ab

，∴ab≥4，a+b=ab≥4，∴akb+abk≥2

(ab)k+1

=2k+2
則n=k+1時，不等式左邊=（a+b）^k+1-a^k+1-b^k+1=（a+b）[（a+b）^k-a^k-b^k]+a^kb+ab^k
≥4（2^2k-2^k+1）+2^k+2=2^2k+2-2^k+2
即n=k+1時成立
由（1）（2）可知，正實數(shù)a，b滿足a=

b

b-1

，為（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，證題的關(guān)鍵是第2步，應(yīng)使用歸納假設(shè)．