Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥5x；
（2）若不等式f（x）≥ax+1的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）=|2x-1|+|x+1|=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

，在各段上分別解不等式f（x）≥5x，最后取其并集即可；
（2）在同一直角坐標(biāo)系中分別作出f（x）=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

與g（x）=ax+1的圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，利用直線的斜率公式即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=|2x-1|+|x+1|=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

，
∴當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）≥5x?-3x≥5x，解得x≤0，
∴x＜-1；
當(dāng)-1≤x≤

1

2

時(shí)，f（x）≥5x?2-x≥5x，解得x≤

1

3

，
∴-1≤x≤

1

3

，
當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f（x）≥5x?3x≥5x，解得x＜0，
∴此時(shí)x∈∅；
綜上所述，不等式f（x）≥5x的解集為（-∞，

1

3

]；
（2）∵g（x）=ax+1恒過(guò)定點(diǎn)P（0，1），
在同一直角坐標(biāo)系中作出f（x）=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

與g（x）=ax+1的圖象，

由圖知，直線PB的斜率k₁=

3 2 -1

1 2 -0

=1，直線PA的斜率k₂=

3-1

-1-0

=-2；
∵不等式f（x）≥ax+1的解集為R，
∴-2≤a≤1，
即不等式f（x）≥ax+1的解集為R時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，突出考查轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．