Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（1）證明：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

an

4n

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證1≤T＜3．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項和

專題：證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，再寫一式，兩式相減，即可證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）b_n=

an

4n

=（n+1）•2^-n，利用錯位相減法求和，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：（1）n=1時，a₁=4；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2a_n-1+2ⁿ，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∴數(shù)列{

an

2n

}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴

an

2n

=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=

an

4n

=（n+1）•2^-n，
∴T_n=2•

1

2

+3•

1

22

+…+（n+1）•

1

2n

，
∴

1

2

T_n=2•

1

22

+…+n•

1

2n

+（n+1）•

1

2n+1

，
兩式相減，

1

2

T_n=1+

1

22

+…+

1

2n

-（n+1）•

1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

∴T_n=3-

n+3

2n

，
∵y=

n+3

2n

單調(diào)遞減，T_n=3-

n+3

2n

單調(diào)遞增，n=1時，T_n=1，n→+∞時，T_n→3，
∴1≤T_n＜3．

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查等差數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．