函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0，f（x）＜0．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）證明：函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若y=f（ax2-a2x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零點，求a的范圍．
（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=x=0
則f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
則f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）為奇函數(shù)…（3分）
證明：（2）任意的x1，x2∈R，x1＜x2，設x2=x1+t，t＞0
f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1+t）=f（x1）-f（x1）-f（t）=-f（t）＞0
∴f（x1）＞f（x2），
故f（x）在R上是減函數(shù)…（2分）
（3）∵y=f（ax2-a2x）-f[（a+1）（x-1）]=0
∴f（ax2-a2x）=f[（a+1）（x-1）]
即ax2-a2x=（a+1）（x-1）
∴ax2-（a2+a+1）x+a+1=（ax-1）[x-（a+1）]=0…（1分）
①a=0時，x=1∈（0，2）符合…（1分）
②a≠0時，則
1
a
∈（0，2）或a+1∈（0，2）
∴a≥
1
2
或-1＜a＜1且a≠0…（2分）
綜上a∈（-1，+∞）…（1分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．
（1）若x∈N*，試求f（x）的解析式；
（2）若x∈N*，且x≥2時，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函，下面四個函數(shù)：
①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f（x）=
xx2+x+1
．
其中屬于有界泛函的是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函數(shù)，下面四個函數(shù)：①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f(x)=
x
x2+x+1

其中屬于有界泛函數(shù)的是（　　）
A、①②B、①③C、③④D、②④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）對任意的正實數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0，則一定正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”，
（1）判斷g（x）=sinx和h（x）=x2-x是不是實數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”，并說明理由；
（2）若數(shù)列{xn}對所有的正整數(shù)n都有 |xn+1-xn|≤
1
(2n+1)2
，設yn=sinxn，求證：|yn+1-y1|＜
1
4
．

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